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Análisis Matemático 66

2025 CABANA

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 UBA XXI
CÁTEDRA CABANA

Práctica 4 - Estudio de funciones

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4.3. En los siguientes ítems del ejercicio 1, calcular intervalos de concavidad positiva e intervalos de concavidad negativa y puntos de inflexión. - a, b, c, d, e, f, g, h, i, k
e) f(x)=−3(x−1)2f(x)=-\frac{3}{(x-1)^{2}}

Respuesta

1)\textbf{1)} Identificamos el dominio de f(x)f(x)

El dominio de ff es R−{1}\mathbb{R} -\{1\}

2)\textbf{2)} Calculamos f′′(x)f''(x)

f′(x)=6(x−1)3 f'(x) = \frac{6}{(x-1)^{3}}
f′′(x)=−18(x−1)4 f''(x) = -\frac{18}{(x-1)^{4}}

3)\textbf{3)} Buscamos los puntos de inflexión de f(x)f(x) igualando la derivada segunda (f′′(x))(f''(x)) a cero

−18(x−1)4=0 -\frac{18}{(x-1)^{4}} = 0

Igual que ya nos ha pasado en otros despejes similares, esta ecuación nunca vale cero. Por lo tanto ff no tiene puntos de inflexión.

4)\textbf{4)} Dividimos la recta real en intervalos donde sabemos que f′′(x)f''(x) es continua y no tiene raíces:

a) x<1x<1
b) x>1x> 1

5)\textbf{5)} Evaluamos el signo de f′′(x) f''(x) en cada uno de los intervalos:

Bueno, si querés podés elegir un número de cada intervalo y evaluarlo en f′′(x)f''(x), pero si mirás bien la expresión de esta derivada, fijate que siempre es negativa, para cualquier xx que pongas ahí... por lo tanto, si f′′(x)f''(x) es siempre negativa, entonces ff es siempre cóncava hacia abajo, en todo su dominio. 
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